Tính tổng dãy số có quy luật lớp 6

     

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Để tính được tổng dãy số lũy thừa có quy luật thì cần phải có phương pháp giải. Đó là những phương pháp:

1. Phương pháp quy nạp

*
*

2. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

*
*

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

Với các dạng toán dưới đây, những em sử dụng phương pháp tính nêu ở bên trên để áp dụng vào giải.

Bạn đang xem: Tính tổng dãy số có quy luật lớp 6

1. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100(*)

Hướng dẫn:

Cách 1:Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100– 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101– 1

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101(**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101– 1.

Tổng quát đến dạng toán này như sau:

$S_n=1+a+a^2+ldots+a^n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: $S_n=dfraca^n+1-1a-1$

Ví dụ 2:Tính:

S =1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100

Hướng dẫn:

Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22– 23 + 24–. . . – 299 + 2100)

⇔2S = 2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101

⇔2S S = (2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S =2101 + 1.

⇔ $S=dfrac2^101+13$

Tổng quát mang đến dạng toán này như sau:

$S_n=1-a+a^2-a^3+ldots-a^2 n-1+a^2 n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $S_n=fraca^2 n+1+1a+1$

Ví dụ 3:Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100(*)

Hướng dẫn:

– Với việc này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số nào đó nhưng mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài xích này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp giải pháp nhau 2 đơn vị đề nghị ta nhân nhị vế với 32rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Xem thêm: Tin Học Và Những Ứng Dụng Của Tin Học Trong Giáo Dục Và Ứng Dụng

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) mang đến (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102– 1

⇔ $S=dfrac3^102-18$

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1+a^d+a^2 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$S_n=dfraca^(n+1) d-1a^d-1$

Ví dụ 4:Tính:

S = 1 – 23 + 26– 29 . . . +296– 299(*)

Hướng dẫn:

– Lũy thừa những số liên tiếp giải pháp nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23ta được:

23.S = 23.(1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299)

⇒ 8S = 23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102(**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102) (1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 ⇔ $S=dfrac1-2^1029$

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1-a^d+a^2 d-a^3 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

$S_n=dfrac1-a^(n+1) da^d+1$

2. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng những số hạng của hàng số bí quyết đều

Để đếm được số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp biện pháp đều nhau 1 số đơn vị ta sử dụng công thức:

Số số hạng = <(số cuối – số đầu) : (khoảng cách)> + 1

Để tính Tổng những số hạng của một dãy cơ mà 2 số hạng liên tiếp phương pháp đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = <(số đầu + số cuối) . (số số hạng)> : 2

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400.

Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (59-2):3+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610.

Xem thêm: Cách Khôi Phục Ảnh Zalo Không Còn Trên Hệ Thống Zalo, Cách Khôi Phục Ảnh Không Còn Trên Hệ Thống Zalo

3. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

Ký hiệu: $sum_i=1^n a_i=a_1+a_2+ldots+a_n$

Tính chất:

$sum_i=1^nleft(a_i+b_i ight)=sum_i=1^n a_i+sum_i=1^n b_i$

$sum_i=1^n a cdot a_i=a sum_i=1^n a_i$

Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

Hướng dẫn:

Ta có: $S_n=sum_i=1^n i(i+1)=sum_i=1^nleft(i^2+i ight)=sum_i=1^n i^2+sum_i=1^n i$

Mặt khác, lại có:

$sum_i=1^n i=1+2+3+ldots+n=fracn(n+1)2$(theo PP quy nạp ở mục I).

$sum_i=1^n i^2=dfracn(n+1)(n+2)6$ (theo PP quy nạp ở mục I)

⇒ $S_n=dfracn(n+2)2+dfracn(n+1)(n+2)6=dfracn(n+1)(n+2)3$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài 2:Tính các tổng sau:

a)S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … + 95 +101

c)$S=dfrac11cdot 2+dfrac123+dfrac13cdot 4 ldots+dfrac149cdot 50$

d)$S=dfrac65cdot 7+dfrac679+dfrac69cdot 11+ldots+dfrac657cdot 59$

Bài 3:Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … + (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b)$dfrac12+dfrac14+dfrac18+ldots+dfrac12^0=1-dfrac120$