TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

  -  

Đường thẳng trải qua trung điểm của 1 đoạn thẳng đó hotline là đường trung tuyến của đoạn thẳng.

Bạn đang xem: Tính độ dài đường trung tuyến

Đoạn trực tiếp đi từ bỏ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối lập gọi là mặt đường trung đường của tam giác. Luật pháp mỗi tam giác đều phải sở hữu ba mặt đường trung tuyến.

Dưới đấy là công thức chi tiết tính độ dài đường trung tuyến:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến được tính bằng căn bậc 2 của 1 phần 2 tổng bình phương hai cạnh kề. Kế tiếp trừ đi 1 phần tư bình phương cạnh đối.

Công thức minh họa:


*

Trong đó:

a,b,c lần lượt là các cạnh trong một tam giác.

ma,mb,mc lần lượt là các đường trung tuyến đường trong tam giác đó.

2. đặc thù đường trung tuyến trong 3 tam giác thường, vuông, cân

Đường trung tuyến trong những tam giác sẽ có được từng đặc điểm khác nhau. Dưới đây là rõ ràng từng đặc điểm trong mỗi tam giác.

Tam giác thường:

Trong 1 tam giác, 3 đường trung tuyến đường giao nhau hotline là trọng tâm.

Vị trí trọng tâm trong tam giác: trung tâm của tam giác giải pháp đều từng đỉnh 1 khoảng bằng độ lâu năm của mặt đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tam giác vuông:

Đường trung đường của một tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Tam giác vuông là tam giác bao gồm đường trung tuyến ứng với cùng một cạnh bởi nửa cạnh đó.

Tam giác cân:

Đường trung trực là đường trung tuyến đường ứng tự góc đỉnh vuông góc với cạnh lòng tương ứng.

Đường phân giác là đường trung đường ứng từ góc đỉnh phân tách góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau.

3. Bài bác tập minh họa

Bài tập 1: Tam giác MNP cho biết thêm NP = 20cm, PM = 16cm, MN = 14cm. Anh/chị hãy tính độ dài các đường trung con đường của tam giác MNP.


*

Bài làm

Gọi:

NP, PM, MN thứu tự là a, b, c

ma, mb, mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến từ phần nhiều đỉnh M, N, p của ∆MNP

Áp dụng cách làm tính con đường trung tuyến đường trong tam giác làm việc phía trên, ta có:


*

Do độ lâu năm đoạn thẳng là độ dài các đường trung tuyến, chính vì như vậy ta có:


*

Bài tập 2: đến tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17cm, NP= 16cm. Kẻ trung tuyến MI.

a) Chứng minh: mày ⊥ NP;

b) Tính độ dài MI.

Bài làm:

a. Vì MI là đường trung tuyến đường MNP

=> IP = IN

Mặt khác tam giác MNP cân tại M

=> mi vừa là con đường trung đường vừa là mặt đường cao

=> mày ⊥ NP

b. Ta có:

NP = 16cm đề nghị NI = PI = 8cm

MN = MP = 17cm

Xét tam giác MIP vuông trên I

Áp dụng Định lý Pitago, ta có:

MP2 = MI2 + IP2

=> 192= MI2 + 82

=> MI2 = 172 - 82 = 225

=> mày = 15cm.

Bài tập 3: mang đến tam giác ABC cân nặng tại A, hai đường trung tuyến BE với CD giảm nhau trên G. Kéo dài AG giảm BC tại điểm H. Anh/ chị hãy:

a. So sánh 2 tam giác AHB và AHC.


b. M cùng N thứu tự là trung điểm của GA với GC. Hãy chứng tỏ rằng AN, BE, centimet đồng quy ở 1 điểm.

Bài làm:

a. Ta có:

BE và CD là 2 con đường trung tuyến của tam giác ABC

Mà BE cắt CD trên G

=> trung tâm của tam giác ABC là G

Mặt không giống AH trải qua G

=> Đường trung tuyến đường của tam giác ABC là AH

Xét 2 tam giác AHB với AHC, có:

AB = AC

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (cạnh - cạnh - cạnh)

b. Vày MA = MG

=> cm là đường trung con đường của tam giác AGC (1)

Mặt không giống NG = NC

=> AN là đường trung tuyến đường của tam giác AGC (2)

GE là mặt đường trung con đường của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) = > 3 con đường AN, CM, BE đồng quy.

Bài tập4: đến tam giác MNK gồm MK = MN. Call E là giao điểm của hai đường trung đường NI cùng KP. Hãy chứng minh:

a)Tam giác NIK cùng tam giác KPN bởi nhau

b) EN = EK

c) NK

Bài làm:

a) Ta có: MK=MN

NI là mặt đường trung đường của tam giác MNK

=> NI = ½ MN (1)

KP là mặt đường trung tuyến đường của tam giác MNK

=> KP = ½ MK (2)

Từ (1), (2) => NI=KP

Xét tam giác NIK với tam giác KPN, ta có:

NK là cạnh chung

NI = KP

góc KNP = góc NKI (tam giác MNK cân tại M)

=> ΔNIK = ΔKPN (cạnh - góc - cạnh)

b) Ta có:

góc INK= góc PKN (Vì ΔNIK = ΔKPN)

Nên tam giác ENK cân nặng tại E

Suy ra EN = EK

c) Xét ΔMNK ta có:

IM = IK (NI là đường trung tuyến)

PM = PN (KP là con đường trung tuyến)

Suy ra IP là con đường trung bình của tam giác MNK

=> IP = NK/2

Xét tam giác IPE có

IP

PE = đại chiến - EK

=> NK/2

ΔNIK = ΔKPN => KP = NI (4)

Tam giác ENK cân tại E => EN = EK (5)


Từ (3), (4), (5) => NK/2

=> NK/2

=> NK

Trên đây là thông tin về công thức đường trung tuyến . Hy vọng với những chia sẻ trên của chúng tôi sẽ giúp cho bạn thuận tiện rộng trong quy trình làm bài.

Xem thêm: Vẽ Tranh Đề Tài Phong Cảnh Miền Núi Quê Em, Vẽ Tranh Đề Tài Phong Cảnh Miền Núi


Trong chương trình toán 7 môn hình học, chúng ta đã được học về mặt đường trung tuyến đường và những tính chất, định lý của mặt đường trung tuyến đường trong tam giác. Kỹ năng này được củng cố lại sinh hoạt lớp 10. Tuy nhiên, nhiều bạn đang bị lẫn lộn giữa định nghĩa đường trung con đường và mặt đường trung trực. Vậy đường trung tuyến đường là gì? Hãy đọc nội dung bài viết dưới đây để có câu trả lời đầy đủ nhất về mặt đường trung tuyến.

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của đoạn thẳng

Đường trung tuyến đường của đoạn thẳng là mặt đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó

Đường trung tuyến đường của tam giác

Đường trung tuyến đường của tam giác là đoạn thẳng tất cả một đầu là đỉnh của tam giác, đầu cơ là trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác bất kỳ đều có 3 mặt đường trung tuyến.


*

3 mặt đường trung con đường của tam giác

Tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC thì AD là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, giả dụ D,E,F theo lần lượt là trung điểm của tía cạnh BC,AC,AB. Thì AD,CE,BF là bố đường trung tuyến đường của tam giác ABC.

Công thức, đặc điểm của đường trung tuyến trong tam giác

Tính hóa học đường trung con đường trong tam giác thường

Ba mặt đường trung đường của một tam giác đồng quy trên một điểm, đặc điểm này được hotline là trọng tâm của tam giác.Trọng tâm của tam giác biện pháp mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài mặt đường trung tuyến trải qua đỉnh ấy.Khoảng giải pháp từ giữa trung tâm đến trung điểm của từng cạnh bằng 1/3 mặt đường trung tuyến tương xứng với điểm đó.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông


ABC vuông bao gồm AD là trung tuyến đường ứng với cạnh huyền BC

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại, nếu trung tuyến đường AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A

Tính chất:

Trong tam giác vuông, trung tuyến đường ứng cùng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.Một tam giác tất cả trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.Đường trung đường của tam giác vuông có không thiếu các đặc thù của một con đường trung con đường tam giác.

Tính hóa học đường trung tuyến trong tam giác cân


Đường trung tuyến trong tam giác cân

ABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC=> AD ⊥ BC cùng ΔADB = ΔADC

Tính chất:

Đường trung tuyến ứng với cạnh lòng thì vuông góc với cạnh đáy. Và phân chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến đường trong tam giác đều


Đường trung con đường trong tam giác đều

ΔABC rất nhiều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB= SBFA= SBFC

Tính chất:

3 mặt đường trung tuyến đường của tam giác phần đông sẽ phân chia tam giác kia thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.Trong tam giác phần đa đường thẳng đi sang 1 đỉnh bất kỳ và đi qua giữa trung tâm của tam giác sẽ phân chia tam giác kia thành 2 tam giác có diện tích s bằng nhau.

Công thức độ dài của đường trung tuyến

Độ dài con đường trung tuyến của một tam giác được tính trải qua độ dài những cạnh của tam giác và được tính bởi định lý Apollonnius:


Công thức tính độ dài con đường trung tuyến

Với ma là trung tuyến đường ứng cùng với cạnh a trong tam giác

mb là trung tuyến đường ứng cùng với cạnh b vào tam giác

mc là trung tuyến ứng cùng với cạnh c vào tam giác

Trong đó:

a, b, c: là các cạnh của tam giác.ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

Các dạng bài bác tập về mặt đường trung đường thường gặp

Dạng 1: Tìm những tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý mang lại vị trí trung tâm của tam giác

Với G là giữa trung tâm của tam giác ABC và AB, BE, CF là 3 đường trung tuyến, ta có

AG = 2/3AD; BG = 2/3BE; CG = 2/3CF

Dạng 2: Đường trung đường với những tam giác quan trọng đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

Trong tam giác cân nặng (hoặc tam giác đều), trung đường ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành nhì tam giác bởi nhau.

Bài tập lấy ví dụ như về mặt đường trung tuyến đường trong tam giác

Bài 1: mang lại tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;b) Tính độ dài AM.

Lời giải:


a. Ta tất cả AM là mặt đường trung đường ABC buộc phải MB = MC

Mặt không giống ABC cân nặng tại A

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là con đường cao

Vậy AM ⊥ BC

b. Ta có

BC = 16cm yêu cầu BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông trên M

Áp dụng Định lý Pitago có:

AC2 = AM2 + MC2 => 172= AM2 + 82 => AM2 = 172- 82= 225 =>AM= 15Cm.

Bài 2: Cho G là trọng trung ương của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Bài giải:

Gọi AD, CE, BF là những đường trung tuyến đường tam giác ABC tốt D, E, F thứu tự là trung điểm cạnh BC, AB, AC


Ta tất cả AD là con đường trung tuyến tam giác ABC nên AG= 2/3AD (1)

CE là con đường trung tuyến đường tam giác ABC đề xuất CG= 2/3CE(2)


BF là đường trung tuyến đường tam giác ABC yêu cầu BG= 2/3BF(3)

Ta bao gồm ΔBAC hầu như =>AD = BF = CE (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra AG = BG = CG

Bài 3: mang đến tam giác ABC. D trực thuộc tia đối của tia AB thế nào cho AD = AB. Trên cạnh AC mang điểm E sao để cho AE =1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CDb) AM = 12BC.

Bài giải: Ta bao gồm hình vẽ:


a, Xét: ΔBDC gồm AB = AD suy ra AC là đường trung con đường tam giác BCD

Mặt khác:

AE = 1/3AC => CE = 2/3AC.

=> E là trọng tâm Δ BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung đường Δ BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b, A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

=> AM là mặt đường trung bình của Δ BDC

=> AM = 1/2BC

Bài 4: mang đến tam giác ABC vuông nghỉ ngơi A, gồm AB = 18cm, AC = 24cm, trọng tâm G. Tính tổng khoảng cách từ điểm G đến các đỉnh của tam giác.

Bài giải: ta có hình vẽ:


Gọi AD, CE, BF theo lần lượt là các đường trung tuyến đường nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta gồm tam giác ABC vuông trên A, vận dụng định lý Pitago ta có

BC2= AB2+ AC2=> BC2= 182+ 242= 900=> BC= 30

Ta gồm ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền phải AD = BD = DC = 15cm

Suy ra AG = 2/3AD = 10cm

Xét Δ AEC vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2= AE2+ AC2=> EC2= 92+ 242= 657=> EC= 3√73cm=>CG = 2/3EC= 2√73cm

Tương tự, xét AFB vuông tại A, vận dụng định lý Pitago ta có:

BF2= AB2+ AF2=> BF2= 182+ 122= 468=> BF= 6√13cm=>BG = 2/3BF= 4√13cm

Tổng khoảng cách từ trọng tâm G đến các đỉnh của tam giác là:

AG+BG+CG= 10+ 4√13+ 2√73 cm

Bài 5: mang đến tam giác ABC cân nặng tại A, hai đường trung tuyến đường BD với CE cắt nhau trên G. Kéo dãn dài AG cắt BC trên H.

Xem thêm: Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Lượng Giác, Phương Pháp

a, so sánh tam giác AHB cùng tam giác AHCb, điện thoại tư vấn Kvà I lần lượt là trung điểm của GC cùng GA. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy

Bài giải: Ta tất cả hình vẽ:


a, Ta tất cả BD là mặt đường trung tuyến của tam giác ABC

CE là con đường trung tuyến đường của tam giác ABC

Vậy G là giữa trung tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G cần AH là con đường trung con đường của tam giác ABC

=>HB = HC

Xét ΔAHB với Δ AHC có:

AB = AC (ABC cân nặng tại A)

AH chung

HB = HC

=>Δ AHB = ΔAHC (c-c-c)

b, Ta tất cả IG = IA bắt buộc CI là con đường trung tuyến đường của ΔAGC (1)

Lại gồm KC = KG phải AK là đường trung đường của ΔAGC (2)

DG là đường trung đường của AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung đường AK, CI, DG đồng quy trên I

Thông qua nội dung bài viết này, hy vọng chúng ta đã nắm được kiến thức và kỹ năng về con đường trung tuyến, đặc điểm của nó để áp dụng vào giải bài xích tập nhanh và đúng chuẩn nhất.


Tải thêm tài liệu liên quan đến bài viết Cách tính độ dài mặt đường trung tuyến đường trong tam giác