TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG CAO

     

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ xuất phát từ 1 đỉnh đến đường thẳng cất cạnh đối diện gọi là con đường cao của tam giác đó.

Bạn đang xem: Tính chất 3 đường cao

Ví dụ: Xét tam giác (ABC), đoạn thẳng(AI)vuông góc với(BC). Ta nói đoạn thẳng(AI)là một đường cao (xuất phạt từ đỉnh(A)) của tam giác(ABC).

*

Đôi lúc ta cũng nói đường thẳng(AI)là một đường cao của tam giác(ABC).

Tương tự như vậy, ta có thể kẻ các đường cao​​(BH,CK)của tam giác(ABC)như hình sau:

*

Mỗi tam giác có tía đường cao.

Ví dụ 1: đến tam giác nhọn(ABC)có hai tuyến đường cao(AD,BE)cắt nhau tại(H). Biết(widehatACB=70^0). Tính số đo góc(widehatDHE)?

Giải:

*

Xét vào tam giác(BEC)vuông tại(E)ta có(widehatEBC+widehatECB=90^0)

(RightarrowwidehatEBC=90^0-70^0=20^0)hay(widehatHBD=20^0)

Xét vào tam giác(HDB)vuông tại(D)ta có(widehatHBD+widehatDHB=90^0)

(RightarrowwidehatDHB=90^0-widehatHBD=90^0-20^0=70^0)

Mặt không giống ta có:(widehatDHB+widehatDHE=180^0)(hai góc bù nhau)

Nên(widehatDHE=180^0-70^0=110^0)

2. đặc thù ba đường cao của tam giác

Định lí:

Ba mặt đường cao của một tam giác thuộc đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực trọng điểm của tam giác.

Ví dụ: Xét những dạng tam giác(ABC)sau. Các đường cao(AI,BK,CL)cùng đi qua (đồng quy tại) điểm(H). Lúc đó,(H)là trực tâm của tam giác(ABC).

*

Nhận xét: Trực trung ương của một tam giác hoàn toàn có thể nằm trong tam giác, rất có thể nằm ngoại trừ tam giác hoặc trùng với 1 đỉnh của tam giác.

Ví dụ 2: cho tam giác(ABC)vuông cân nặng tại(A).Trên cạnh(AB)lấy điểm(H). Bên trên tia đối của tia(AC)lấy điểm(D)sao cho(AD=AH).

Xem thêm: Beauty Is In The Eye Of The Beholder Nghĩa Là Gì, Beauty Is In The Eye Of The Beholder Là Gì

Chứng minh rằng(CHperp BD).

Giải:

*

Gọi giao điểm của(DH)và(BC)là(E).

Do tam giác(ABC)vuông cân nặng tại(A)nên(widehatACB=widehatABC=45^0)

(RightarrowwidehatECD=45^0)

Lại có:(AD=AH)(RightarrowDelta AHD)vuông cân nặng tại(A). Vày đó(widehatAHD=widehatADH=45^0)

(RightarrowwidehatCDE=45^0)

Xét tam giác(ECD)có(widehatCDE+widehatECD+widehatCED=180^0)(tổng tía góc vào một tam giác)

(Rightarrow45^0+45^0+widehatCED=180^0RightarrowwidehatCED=90^0)

(Rightarrow DHperp BC)

Xét tam giác(BCD)có(BHperp CD,DHperp BC)suy ra những đường thẳng(BH,DH)là con đường cao của tam giác(BCD)

Do 3 mặt đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Nên(H)là trực trọng điểm của tam giác(BCD)(Rightarrow CHperp BD)


3. Về những đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất:

Trong một tam giác cân, con đường trung trực ứng cùng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, con đường trung con đường và mặt đường cao cùng bắt đầu từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Nhận xét: trong một tam giác, ví như hai trong bốn loại mặt đường (đường trung tuyến, con đường phân giác, mặt đường cao cùng xuất xứ tại một đỉnh và con đường trung trực ứng cùng với cạnh đối lập của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.

Ví dụ 3: Cho tam giác(ABC)cân tại(A), con đường cao(AI). Biết(AB=AC=10cm),(BC=12cm). Tính độ lâu năm đoạn thẳng(AI).

Xem thêm: Phạm Vân - Con Duong Tam Linh

Giải:

Do tam giác(ABC)cân tại(A)nên con đường cao(AI)đồng thời là trung tuyến ứng cùng với cạnh(BC)

(Rightarrow I)là trung điểm(BC)

(Rightarrow IB=dfracBC2=dfrac122=6left(cm ight))

Ta có: Tam giác(ABI)vuông tại(I). Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

(AI^2+BI^2=AB^2)

(Rightarrow AI=sqrtAB^2-BI^2=sqrt10^2-6^2=8left(cm ight))


Đặc biệt:Đối với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều bố đỉnh, điểm phía trong tam giác và biện pháp đều bố cạnh là bốn điểm trùng nhau.