TÌM HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN

     

Trong mọi năm gần đây nhị thức Newton là trong những nội dung thi đại học. Nội dung bài viết này nhằm trình làng hai dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton thường gặp gỡ trong các đề thi đại học.

Bạn đang xem: Tìm hệ số trong khai triển

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.

Công thức khai triển nhị thức Newton:
*
,
*
.Công thức số tổ hợp:
*
,
*
.Tính chất lũy thừa:
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số hạng đựng

*
trong khai triển
*
.

Phương pháp.

Viết triển khai
*
;Biến thay đổi khai triển thành
*
;Số hạng đựng
*
khớp ứng với số hạng chứa
*
thỏa
*
.Từ đó suy ra số hạng nên tìm.

Ví dụ 1. Tìm thông số của

*
trong khai triển đa thức:

*

Lời giải.

Ta bao gồm

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng với số hạng cất
*
thỏa
*
.

Vậy thông số của số hạng chứa

*
*
.

Ví dụ 2. (D-04) tra cứu số hạng không đựng

*
trong triển khai thành nhiều thức của biểu thức:

*
x + \frac1\sqrt<4>x} \right)^7},x > 0" class="latex" />

Lời giải.

Ta bao gồm

*
x + \frac1\sqrt<4>x} \right)^7} = \left( x^\frac13 + x^ - \frac14 \right)^7 = \sum\limits_k = 0^7 C_7^k\left( x^\frac13 \right)^7 - k \left( x^ - \frac14 \right)^k = \sum\limits_k = 0^7 C_7^kx^\frac73 - \frac7k12" class="latex" />.

Số hạng không chứa

*
tương ứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy số hạng không đựng

*
*
.

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng đựng

*
trong triển khai
*
, biết:

*

Lời giải.

Theo đưa thiết có:

*

*
.

Khi đó

*
.

Số hạng chứa

*
tương xứng số hạng đựng
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng đựng

*
*
.

Ví dụ 4. (A-04) Tìm thông số của

*
trong khai triển thành nhiều thức của biểu thức:

*

Lời giải.

Ta gồm khai triển:

*
}^k}} = \sum\limits_k = 0^8 C_8^kx^2k(1 - x)^k" class="latex" />

*
.

Số hạng cất

*
tương xứng số hạng chứa
*
*
thỏa
*
.

*
cần
*
hoặc
*
.

Vậy hệ số của số hạng đựng

*
*
.

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong những bài toán tương quan đến

*
.

Phương pháp.

Chọn một khai triển
*
phù hợp, tại chỗ này
*
là hằng số.Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc rước đạo hàm, tích phân.Dựa vào đk bài toán, nạm
*
vị một giá trị thay thể.

Ví dụ 5. (D-02) tra cứu số nguyên dương

*
vừa ý hệ thức:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Chọn

*
ta gồm
*
.

Lại theo trả thiết ta gồm

*
.

Ví dụ 6. (A-06) Tìm thông số của

*
trong khai triển 
*
, biết:

*

Lời giải.

Xem thêm: Tác Giả, Em Muốn Nghỉ Việc!, Ghim Trên Truyện Tranh Việt Nam

Xét khai triển

*
.

Chọn

*
ta bao gồm
*
.

Lại bao gồm

*
cần
*
.

Lại theo giả thiết bao gồm

*
.

Khi đó

*
.

Số hạng đựng

*
tương ứng số hạng cất
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng cất

*
*
.

Ví dụ 7. (D-08) kiếm tìm số nguyên dương

*
chấp nhận hệ thức:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Chọn thứu tự

*
với
*
ta có
*
.

Trừ theo vế (1) và (2) ta gồm

*
.

Lại theo mang thiết bao gồm

*
.

Ví dụ 8. (A-05) kiếm tìm số nguyên dương

*
thỏa mãn:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy đạo hàm hai vế được

*
.

Thay

*
ta tất cả
*
.

Theo giả thiết ta bao gồm

*
.

Ví dụ 9. chứng minh rằng:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy đạo hàm trung học phổ thông hai vế ta có:

*
.

Chọn

*
ta có
*
(đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) đến

*
là số nguyên dương. Tính tổng:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy tích phân từ một đến 2 cả hai vế ta có:

*

*
.

Vậy

*
.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm hệ số của số hạng cất

*
trong khai triển biểu thức
*
.

2. (A-2012) mang lại

*
là số nguyên dương thỏa mãn
*
.

Tìm số hạng chứa

*
trong khai triển nhị thức Newton của
*
.

3. (A-02) cho khai triển biểu thức

*

biết rằng vào khai triển đó

*
cùng số hạng lắp thêm tư bằng
*
. Tìm kiếm
*
với
*
.

4. (D-07) Tìm thông số của

*
trong triển khai thành nhiều thức của biểu thức:

*

5.

Xem thêm: Hoạt Động Giáo Dục An Toàn Giao Thông Trong Trường Học Sinh, Tham Gia Thi

(D-03) cùng với

*
là số nguyên dương, gọi
*
là thông số của
*
trong khai triển thành đa thức của
*
. Tra cứu
*
nhằm
*
.