Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải

     

 Ý tưởng của cách thức này là mang sử kiếm được bộ nghiệm nhỏ dại nhất, ta có thể lý luận sao cho tìm được bộ nghiệm nhỏ hơn.

Ví dụ 1: search nghiệm nguyên của phương trình x2 - 5y2 = 0 (1)

 




Bạn đang xem: Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải

*
22 trang
*
hungphat.hp
*
*
3679
*
11Download


Xem thêm: Bài 36 - Giải Sinh 6: Tổng Kết Về Cây Có Hoa (Tiếp Theo)

Bạn đang xem 20 trang mẫu mã của tư liệu "Sáng kiến kinh nghiệm tay nghề Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên", để tải tài liệu gốc về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD làm việc trên


Xem thêm: Ca Dao Về Con Cò Về Người Phụ Nữ ❤️️ Sưu Tầm 1001 Câu, Những Câu Ca Dao Tục Ngữ Về Con Cò

ơ sở lý thuyết. Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy. Cách thức so sánh đối chứng. Phương thức điều tra phân tích, tổng hợp. Phương pháp thống kê. III. NỘI DUNG 1. Một trong những định nghĩa, định lí, tính chất và kiến thức và kỹ năng liên quan mang đến các cách thức giải phương trình nghiệm nguyên Để học sinh nắm được các phương pháp giải phương trình nghiêm nguyên được một cách rất tốt giáo viên buộc phải trang bị cho học sinh các đơn vị kỹ năng và kiến thức cơ bản sau:1. Định nghĩa phép phân tách hết: a, b (b 0) q, r thế nào cho a =bq + r cùng với 0 r 0 với mọi x, y bắt buộc từ (*) => y - x > 0. Ngoài ra 91 = 1 . 91 = 7 . 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều phải sở hữu giá trị nguyên dương phải ta gồm bốn năng lực sau: y - x = 91 cùng x2 + xy + y2 = 1 (I) y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 (II) y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 (III) y - x = 7 với x2 + xy + y2 = 13 (IV) Đến đây, việc coi như được giải quyết. Phương pháp II : sắp thứ tự những ẩn Nếu những ẩn x, y, z, ... Có vai trò bình đẳng, ta hoàn toàn có thể giả sử x y z ... Nhằm tìm các nghiệm vừa lòng điều kiện này. Từ bỏ đó, sử dụng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình sẽ cho. Lấy ví dụ như 1 : search nghiệm nguyên dương của phương trình : x + y + z = xyz (1). Giải mã Do các ẩn x, y, z tất cả vai trò đồng đẳng trong phương trình nên hoàn toàn có thể sắp xếp thứ tự giá trị của những ẩn, chẳng hạn:1xyz vì vậy xyz = x + y + z 3z chia hai vế của bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta được xy3. Vì thế xy 1; 2; 3 với xy = 1, ta gồm x = 1, y = 1. Rứa vào (1) được 2 + z = z (loại) với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Rứa vào (1) được z = 3 với xy = 3, ta tất cả x = 1, y = 3. Thế vào (1) được z = 2 (loại) vày trái với bố trí y z.Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (1) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).Ví dụ 2 : tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình : (2) giải mã Do vai trò đồng đẳng của x, y, z vào phương trình nên rất có thể sắp xếp sản phẩm công nghệ tự giá trị của các ẩn, ví dụ điển hình x ≤ y ≤ z. Ta tất cả : ( bởi vì x nguyên dương)Thay x = 1 vào (2) ta bao gồm : Suy ra : y = 1 = 0 (vô lí) hoặc y = 2 = 2 z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). Cách thức III : Sử dụng tính chất chia hết - Sử dụng tính chất chia hết để chứng tỏ phương trình vô nghiệm hoặc search nghiệm của phương trình. - nhì vế của phương trình nghiệm nguyên khi phân tách cho cùng một trong những có số dư không giống nhau thì phương trình đó không tồn tại nghiệm nguyên.Ví dụ 1 : kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - 2y2 = 5 (1) lời giải Từ phương trình (1) => x phải là số lẻ. Chũm x = 2k + 1 (k) vào (1), ta được: 4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5 2(k2 + k - 1) = y2 => y2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2t (t ), ta gồm : 2(k2 + k - 1) = 4t2 k(k + 1) = 2t2 + 1 (*) nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + một là số lẻ => phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình (1) không tồn tại nghiệm nguyên. Lấy một ví dụ 2 : minh chứng rằng không tồn tại những số nguyên x, y, z thỏa mãn nhu cầu : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (2)Lời giảiTa có : x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Vì vậy : x3 - x phân tách hết mang lại 3. Giống như y3 - y cùng z3 - z cũng phân tách hết cho 3. Từ kia ta bao gồm : x3 + y3 + z3 - x - y - z phân chia hết mang lại 3. Bởi vì 2000 không chia hết đến 3 đề xuất x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (2) không tồn tại nghiệm nguyên. Lấy ví dụ như 3 : kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy + x - 2y = 3 (3)Lời giải Ta bao gồm (3) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Bởi vì x = 2 không vừa lòng phương trình đề nghị (3) tương đương với: Ta thấy: y là số nguyên đề nghị x - 2 là ước của một hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 với x = 1 hoặc x = 3. Từ kia ta tất cả nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ; -2) cùng (3 ; 0). Chú ý: rất có thể dùng cách thức 1 nhằm giải câu hỏi này, nhờ đưa phương trình (3) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. Lấy ví dụ 4: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình sau. (4)Lời giải Ta thấy: x = y = 0 là nghiệm của (4).Nếu cùng là nghiệm của (4). Call , suy ra (*)Ta có: chẵn với (mâu thuẫn cùng với (*) )Vậy phương trình (4) chỉ bao gồm nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0).Ví dụ 5: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Lời giải:Ta có: 2x2 + 4x + 2 = 21 - 3y2 2(x + 1)2 = 3(7 - y2) (2) Ta thấy 3(7 - y2) 2 7 - y2 2 y lẻ Ta lại có 7 - y2 0 yêu cầu chỉ hoàn toàn có thể y2 = 1 lúc đó (2) gồm dạng: 2(x + 1)2 = 18 Ta được : x + 1 = 3 cho nên vì thế x1 = 2, x2 = -4 các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thoả mãn đề xuất là những nghiệm nguyên của phương trình sẽ cho. Cách thức IV : Lùi vô hạn ( Xuống thang) phương pháp náy bởi vì FERMAT trí tuệ sáng tạo ra khi giải phương trình x4 + y 4 = z 4 Ý tưởng của cách thức này là giả sử kiếm được bộ nghiệm nhỏ tuổi nhất, ta có thể lý luận sao cho tìm được bộ nghiệm nhỏ tuổi hơn.Ví dụ 1: tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 5y2 = 0 (1) giải mã Giả sử (x0 ; y0) là nghiệm của (1) thì : x02 - 5y02 = 0 x0 chia hết mang lại 5, để x0 = 5x1 ; (x1 ), ta bao gồm : 25x12 - 5y02 = 0 5x12 - y02 = 0 y0 phân tách hết mang lại 5, đặt y0 = 5y1 (y1). Từ kia ta bao gồm : 5x12 - 25y12 = 0 x12 - 5y12 = 0. Vậy trường hợp (x0 ; y0) là nghiệm nguyên của (1) thì cũng chính là nghiệm nguyên của (1). Tiếp tục lập luận tương tự, ta tất cả với k nguyên dương bất kì, cũng chính là nghiệm nguyên của (1) tốt x0 và y0 đông đảo chia hết mang đến 5k với đa số k là số nguyên dương tùy ý. Điều này chỉ xẩy ra khi và chỉ còn khi x0 = y0 = 0. Vậy phương trình (1) bao gồm nghiệm nguyên tuyệt nhất là x = y = 0. Lấy ví dụ như 2: Tìm những nghiệm nguyên của phương trình: x3 + 2y3 = 4z3 (2)Lời giải tự (2) x 2. Đặt x = 2x1 với x1 nguyên. Núm vào (2), phân tách hai vế mang lại 2 được : 4x13 + y3 = 2z3 (3)Do đó y 2. Đặt y = 2y1 cùng với y1 nguyên. Núm vào (3) rồi phân chia hai vế mang đến 2 được: 2x13 + 4y13 = z3 (4)Do đó z 2. Đặt z = 2z1 cùng với z1 nguyên. Nắm vào (4) rồi phân chia hai vế đến 2 được : x13 + 2y13 = 4z13Như vậy nếu (x, y, z) là nghiệm của (2) thì (x1, y1, z1) cũng chính là nghiệm của (2) trong đó x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1.Lập luận tựa như như trên (x2; y2; z2) cũng chính là nghiệm của (2) trong các số đó x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2 Cứ liên tiếp như vậy ta đi mang đến x, y, z mọi chia hết đến 2k với k là số tự nhiên và thoải mái tuỳ ý. Điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0. Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (2)Ví dụ 3: tìm nghiệm nguyên của phương trình: (5)Lời giải trả sử là nghiệm nguyên của phương trình lúc ấy đặt , nắm vào (5) ta được: đặt khi đó:đặt khi đó: . Vậy cũng chính là nghiệm của phương trình. Quá trình này tiếp tục thì được: là các nghiệm nguyên của (5) với mọi k nguyên dương vấn đề đó chỉ xẩy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm nguyên tuyệt nhất là ( 0; 0; 0 ) cách thức V: Đưa về dạng tổng thay đổi phương trình về dạng : Vế trái là tổng của các bình phương, vế buộc phải là tổng của những số bao gồm phương. Ví dụ như 1 : tra cứu nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8 (1) giải thuật (1) 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng cách thức thử chọn ta thấy 34 chỉ tất cả duy độc nhất vô nhị một dạng so với thành tổng của hai số chính phương 32 và 52. Vì thế phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng : hoặc Giải những hệ trên, suy ra phương trình (1) bao gồm bốn nghiệm nguyên là (x ; y) 2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1) lấy ví dụ như 2: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169Lời giải Ta có: x2 – 4xy + 5y2 = 169Û (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122Do đó phương trình vừa lòng chỉ trong tư khả năng :Þ hoặcÞ hoặc Giải ra ta được những nghiêm nguyên của phương trình là (x, y) (29, 12); (19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0) cách thức VI : Xét chữ số tận thuộc Ví dụ 1 : tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1! + 2! + ... + x! = y2 (1) giải thuật Cho x lần lượt bằng 1 ; 2 ; 3 ; 4, ta gồm ngay 2 nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình (1) là (1 ; 1) cùng (3 ; 3). Trường hợp x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều phải có chữ số tận cùng bằng 0. 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5! + ... + x! = 33 + 5! + ... + x! tất cả chữ số tận cùng bằng 3. Mặt khác vế đề xuất là số chủ yếu phương đề nghị không thể bao gồm chữ số tận thuộc là 3. Vậy phương trình (1) chỉ bao gồm hai nghiệm nguyên dương: (x ; y) (1 ; 1) ; (3 ; 3). Lấy ví dụ như 2 : tra cứu x, y nguyên dương thỏa mãn nhu cầu phương trình : x2 + x - 1 = 32y + 1 (2) giải thuật Cho x các giá trị từ bỏ 0 mang lại 9, dễ ợt xác định được chữ số tận thuộc của x2 + x–1 chỉ nhận những giá trị 1 ; 5 ; 9. Phương diện khác, ta thấy 32y + một là lũy thừa bậc lẻ của 3 cần chữ số tận cùng của chính nó chỉ có thể là 3 hoặc 7 khác với cùng một ; 5 ; 9. Vậy (2) bắt buộc xảy ra. Nói cách khác, phương trình (2) không có nghiệm nguyên dương. * lưu lại ý : câu hỏi này cũng rất có thể giải bằng cách thức sử dụng đặc điểm chia hết. Phương thức VII: phương thức loại trừ Nếu gồm số nguyên m làm sao để cho thì n thiết yếu là số chính phương.Ví dụ 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trìnhy2 + y = x4 + x3 + x2 + x giải mã Ta có: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Û 4 y2 + 4y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x + 1 (2y + 1)2 - (2x2 + x ) 2 = (3x + 1) (x +1) tốt (2x2 + x + 1) 2 - (2y+ 1)2 = x(x-2) * Ta thấy: giả dụ x > 0 hoặc x 0 giả dụ x > 2 hoặc x 0 Þ trường hợp x > 2 hoặc x 0 ta có: ( vô lý ). Với x £ - 2 thì : ( vô lý ). Cùng với x = - 1 thì : . ( vô lý ).Vậy phương trình vẫn cho bao gồm hai cặp nghiệm nguyên là ( 0; 1 ); ( 0; -1 ).Ví dụ 3: tra cứu nghiệm nguyên của phương trình: Lời giảiKhai triển với rút gọn hai vế ta được: trường hợp x > 0 thì trường đoản cú suy ra ko là số thiết yếu phương phải (1) không có nghiệm nguyên. Trường hợp x 0. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: ( + +)3 ³ 27 (. .) = 27Þ + + ³ 3 Đẳng thức xẩy ra x = y = z Vậy phương trình + + = b không có nghiệm nghiệm nguyên khi b = 1 hoặc b = 2 nhưng tất cả vô số nghiệm nghiệm nguyên lúc b = 3, chẳng hạn:( x = a, y = a, z = a) với a là số nguyên dương bất kỳ.Ví dụ 3: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:Đẳng thức xảy ra Vậy phương trình có nghiệm nguyên tuyệt nhất là x = y = 1.Ví dụ 4: Tìm các số nguyên dương x, y hợp ý phương trình : (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y Lời giảiÁp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có: x2 + 1 2x, vết bằng xẩy ra x = 1. X2 + y2 2xy, vết bằng xẩy ra x = y. Bởi x, y nguyên dương cần nhân những bất đẳng thức bên trên vế theo vế ta được : (x2 + 1)(x2 + y2) 4x2y, vệt bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Vậy phương trình gồm nghiệm nguyên độc nhất x = y = 1. Phương pháp X: Xét số dư từng vếVí dụ 1. Search nghiệm nguyên của phương trình: 9x + 2 = y2 + y (1)Lời giảiTa có: 9x + 2 = y2 + y 9x + 2 = y(y + 1) (*)Ta thấy vế trái của (*) là số chia cho 3 dư 2 đề nghị y(y + 1) phân chia cho 3 dư 2. Nếu y phân chia hết đến 3 hoặc y chia cho 3 dư 2 thì y(y + 1) hồ hết chia hết mang đến 3, trái với kết luận trên. Vì thế y phân tách cho 3 dư 1. Đặt y = 3k + 1(k) thì y +1 = 3k + 2. Lúc đó ta có: 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2) 9x = 9k(k+1) x = k(k+1)Thử lại x = k(k+1) và y = 3k + 1(k) toại ý phương trình vẫn cho. Vậy nghiệm nguyên của phương trình (1) là x = k(k+1) và y = 3k + 1( cùng với k)Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình sau không tồn tại nghiệm nguyên: x2 – y2 = 2006 (2)Lời giải* cách 1. Phương trình (2) viết thành: (x – y)(x + y) = 2010 do (x – y) + (x + y) = 2x là số nguyên chẵn đề xuất (x – y) với (x + y) thuộc tính chẵn lẻ. Từ bỏ (x – y)(x + y) = 2010 suy ra (x – y) với (x + y) phần nhiều chẵn. Vị đó: (x – y)(x + y) phân tách hết đến 4. Cơ mà 2010 không phân tách hết mang lại 4. Từ đó, suy ra phương trình đã đến vô nghiệm. * bí quyết 2. Số chủ yếu phương phân tách cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Cho nên vì vậy x2, y2 phân chia cho 4 chỉ bao gồm số dư 0 hoặc 1. Suy ra x2 – y2 chia cho 4 gồm số dư 0; 1; 3. Còn vế buộc phải 2010 phân chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình không tồn tại nghiệm nguyên. IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG bài xích 1: Giải các phương trình nghiệm nguyên.a) 3x3 - 3y3 = 21b) 3xy + x - y = 1c) 2x2 + 3xy - 2y2 = 7Bài 2: tìm kiếm x,y, z nguyên dương thoả mãn.a) 2(x + y + z) + 9 = 3xyzb) xy + yz + zx = xyz + 2c) bài xích 3: chứng tỏ rằng:a) Phương trình không có nghiệm nguyên dương.b) chỉ có một trong những hữu hạn nghiệm nguyên dương.c) Phương trình x2 + y 2 = 4m + 3 không có nghiệm nguyên với m nguyên.d) bao gồm vô số số nguyên x nhằm biểu thức sau là số chính phương.(1 + 2 + 3 + ... + x)(12 + 22 + 32 + ... + x2)Bài 4: Giải phương trình bên trên tập số nguyên.a).b).c).d).e).f).Bài 5: Giải phương trình bên trên tập số nguyên.a).b).c).d).e).e).Bài 6: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của những phương trình sau.a). B) c). D).e). F).Bài 7: tìm kiếm nghiệm nguyên của những phương trình sau.a).b).c). D).e). F). Bài xích 8: Giải phương trình trên tập số nguyên.a).b).c). D).e).V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Áp dụng ý tưởng sáng tạo kinh nghiệm này vào huấn luyện ở ngôi trường tôi những năm học 2010 – 2011 tôi đã thu được các hiệu quả khả quan. Trong ba năm liên tiếp áp dụng cùng hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy ngày càng có hiệu quả, quality học tập của học sinh mũi nhọn càng ngày cao. Đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, vận dụng và sử dụng thành thành thục các phương thức cho từng bài bác cụ thể. Tác dụng cụ thể như sau:Dưới điểm 5 Điểm 5 - 10Điểm 8 - 10SL%SL%SL%110990550VI. BÀI HỌC kinh NGHIÊM * Qua quá trình áp dụng sáng kiến này, tôi thấy để sở hữu được công dụng cao, thầy giáo cần chú ý một số sự việc sau: đề nghị hướng dẫn học viên nắm chắn chắn phần lý thuyết. Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập tập, giáo viên đề xuất chọn lọc hệ thống bài tập theo nấc độ tăng cao từ dễ đến khó, sản xuất sự tra cứu tòi cho những em. Lúc giải một việc về phương trình nghiệm nguyên trước hết bắt buộc đoán dạng, sau đó mới lựa chọn lựa phương pháp để giải. đề xuất rèn học sinh các