CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT LỚP 7

     

+ Khi minh chứng A(n) phân tách hết mang lại m ta xét số đông trường phù hợp về số dư khi phân chia A(n) mang lại m

+ với đa số số nguyên a, b với số tự nhiên n thì:

an – bn phân chia hết đến a – b (a – b)a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b(a + b)n  = B(a) + bn(a + 1)n là BS(a )+ 1(a – 1)2n là B(a) + 1(a – 1)2n + 1 là B(a) – 1

Với từng ví dụ sẽ có được hướng so với đề bài bác và lời giải.

Bạn đang xem: Các bài toán chứng minh chia hết lớp 7

Ví dụ1. Chứng minh rằng:

A = n3(n2 -7)2 – 36n chia hết mang đến 5040 với đa số số thoải mái và tự nhiên n.

Hướng phân tích:

+ Trước hết mang đến hoc sinh nhấn xét về những hạng tử của biểu thức A

+ Từ đó phân tích A thành nhân tử

Giải: Ta có

A =n= n<(n3 -7n2)-36>

= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)

Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)

n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)

Do đó:

A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp

+Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5

+Tồn tại một bội của 7 ⇒ A phân chia hết mang lại 7

+Tồn tại nhì bội của 3 ⇒ A chia hết đến 9

+Tồn tại cha bội số của 2,trong đó bao gồm một bội số của 4 ⇒ A phân tách hết mang lại 16

A phân chia hết cho những số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau đề nghị A phân tách hết cho

5.7.9.16 =5040.

+ Qua lấy một ví dụ 1 rút ra giải pháp làm như sau:

Gọi A(n) là một biểu thức dựa vào vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z).

Chú ý 1:

+Để chứng tỏ biểu thức A(n) phân chia hết cho một số, ta thường so với A(n) thành thừa số, trong các số ấy có một quá số là m.Nếu m là hợp số, ta so với nó thành môt tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi minh chứng A(n)chia không còn cho tất cả các số đó.

+Trong quá trình minh chứng bài toán trên ta sẽ sử dụng những kiến thức của lớp 6 :

-Phân tích một số ra thừa số thành phần .

-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số nguyên tố )

-Nguyên lý Dirich- le

Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, lúc nào cũng sống thọ một bội số của k.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng cùng với moi số nguyên a thì

a) a2 -a phân tách hết cho 2.

b) a3 -a phân tách hết mang đến 3.

c) a5 -a phân tách hết đến 5.

d) a7 -a phân chia hết mang lại 7.

Giải:

a) a2 – a =a(a-1), chia hết đến 2.

b) a3 -a = a( a2 – 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 bởi tồn tại một bội của 3.

+ Ở phần a, b học sinh tiện lợi làm được nhờ những bài toán đã quen thuộc

+ Để chứng tỏ a(a -1 ) chia hết đến 2, ta đã xét số dư của a khi phân tách cho 2 (hoặc dụng nguyên lý Dirich- le )

c) cách 1

A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1)

Xét những trường vừa lòng a = 5k, a= 5k ± 1, a=5k ± 2

+Ta áp dụng vào tính chia hết của số nguyên về xét số dư

suy ra A chia hết mang lại 5.

Cách 2.

A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1)

= a(a2+1)(a2 -4+5)

= a(a2+1)(a2 -4)+ 5a( a2 -1)

= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 -1)

Số hạng đầu tiên là tích của năm số nguyên liên tục nên phân chia hết mang đến 5,số hạng lắp thêm hai cũng chia hết cho 5.

Do kia A = a5 -1 phân chia hết mang đến 5.

+Ta vận dụng tính phân tách hết của một tổng vào giải .

+ Qua ví dụ 2 để minh chứng chia không còn ta đã làm cho như sau:

Chú ý 2: Khi chứng tỏ A(n) phân tách hết mang đến m, ta hoàn toàn có thể xét các trường hòa hợp về số dư khi chia n đến m.

Ví dụ 3.

a)Chứng minh rằng một số trong những chính phương chia hết mang đến 3 chỉ có thể có số dư bởi 0 hoặc 1.

b) minh chứng rằng một vài chính phương phân tách cho 4 chỉ hoàn toàn có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

c)Các số sau bao gồm là số chủ yếu phương không?

M = 19922 + 19932 +19942

N = 19922 + 19932 +19942 +19952

P = 1+ 9100+ 94100 +1994100.

Xem thêm: Cách Vẽ Hình Thang Cân, Hình Chữ Nhật, Hình Vuông Nội Tiếp Đường Tròn

d)Trong hàng sau tất cả tồn trên số như thế nào là số chính phương không?

11, 111,1111,11111,…….

Giải: Gọi A là số bao gồm phương A = n2 (n ∈ N)

a)Xét các trường hợp:

n= 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 chia hết mang lại 3

n= 3k 1 (k ∈ N) A = 9k2 6k +1 phân tách cho 3 dư 1

Vậy số thiết yếu phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

+Ta đang sử tính phân tách hết mang lại 3 với số dư trong phép chia cho 3 .

b)Xét những trường hợp

n =2k (k ∈ N) ⇒ A= 4k2, chia hết mang đến 4.

n= 2k+1(k ∈ N) ⇒ A = 4k2 +4k +1

= 4k(k+1)+1,

chia mang lại 4 dư 1(chia đến 8 cũng dư 1)

vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

+Ta sẽ sử tính phân chia hết đến 4 và số dư vào phép chia cho 4 .

Chú ý: Từ vấn đề trên ta thấy:

-Số thiết yếu phương chẵn phân chia hết mang lại 4

-Số chủ yếu phương lẻ chia cho 4 dư 1( phân chia cho 8 cũng dư 1).

c) các số 19932,19942 là số chính phương không phân tách hết mang đến 3 yêu cầu chia mang lại 3 dư 1,còn 19922 chia hết mang lại 3.

Vậy M phân tách cho 3 dư 2,không là số chính phương.

Các số 19922,19942 là số bao gồm phương chẵn cần chia hết đến 4.

Các số 19932,19952 là số chủ yếu phương lẻ đề xuất chia cho 4 dư 1.

Vậy số N phân tách cho 4 dư 2,không là số thiết yếu phương.

+Ta sẽ vận dụng đặc điểm chia không còn của số chủ yếu phương cùng xét số dư cửa các số chính phương kia khi những số kia chẳn hay lẻ .

d) phần đa số của dãy những tận thuộc là 11 buộc phải chia cho 4 dư 3.Mặt không giống số chủ yếu phương lẻ thì phân chia cho 4 dư 1.

Vậy không có số làm sao của hàng là số chủ yếu phương.

Chú ý 3: Khi chứng tỏ về đặc thù chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng các hằng đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây:

+an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1) (1)

+an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1) (2)

với những số lẻ n.

Công thức Niu-tơn

(a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+…+cn-1abn-1+bn

Trong bí quyết trên, vế phải là 1 trong đa thức gồm n+1 hạng tử, bậc của từng hạng tử so với tập hợp các biến là a,b là n. Những hệ số c1,c2,…cn-1 được xác định bởi tam giác pa -xcan:

*

Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính phân chia hết, ta có với tất cả số tự nhiên và thoải mái a,b và số thoải mái và tự nhiên n :

an -bn chia hết mang đến a-b (a ≠ b)

a2n+1 +b2n+1 chia hết mang lại a+b ( a ≠-b)

(a+b)n =Bs a+bn (Bs a là bội của a).

Đặc biệt chăm chú đến:

(a+1)n = Bs( a +1)

( a -1)n = Bs (a- 1)

(a-1)2n+1= Bs( a – 1)

*Tất cả các công thức Niu Tơn trên chỉ vận dụng cho học sinh các khối 8 , 9 .

Ví dụ 4. Minh chứng rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết đến 17 khi còn chỉ khi n là số chẵn.

Giải:

Cách 1:

Nếu n chẵn (n=2k, kN) thì

A= 162k -1 = (162)k -1 phân tách hết cho 162 -1

Theo hằng đẳng thức (1)

Mà 162 -1 =255 phân tách hết mang lại 17.

Vậy A phân tách hết đến 17

Nếu n lẻ thì A = 16n +1 -2,

mà 16n+1 phân tách hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A không phân chia hết mang lại 17

vậy A chia hết đến 17 n chẵn.

Cách 2: A=16n -1 =(17-1)n -1

= B (17) +(-1)n -1(theo phương pháp Niu-tơn)

Nếu n chẵn thì A =B (17) +1-1 =B (17)

Nếu n lẻ thì A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2

Không chia hết đến 17.

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lý 6 Bài 10, Giải Sbt Vật Lí 6 Bài 10: Lực Kế

Chú ý 4: Người ta còn dùng phương thức phản chứng,nguyên lý Di ríchlet để chứng tỏ quan hệ phân chia hết.